Cúspides de cáusticas por reflección en elipses

Resumen:

La última afirmación geométrica de Jacobi, demostrado rigurosamente en 2004, dice que la cáustica de la familia de geodésicas emanando de un punto general de un elipsoide tiene exactamente cuatro cúspides y ninguna otra singularidad.

En esta conferencia hablaremos de la versión billiard de la última afirmación geométrica de Jacobi y sus generalizaciones. Dado un punto no focal O dentro de una mesa de billar elíptica, consideramos la familia de rayos emanando desde O y la cáustica Γ_n de la familia reflejada por la ellipse n veces, para cada número entero positivo n. Se sabe que Γ_n tiene por lo menos cuatro cúspides. Se conjetura que tiene exactamente cuatro cúspides ordinarias y ninguna otra singularidad.

Hablaremos de nuestra demostración de esta conjetura en el caso particular cuando la elipse es un círculo. En el caso de una elipse arbitraria describimos explícitamente la ubicación de las cuatro cúspides de Γ_n pero sin demostrar que estas son las únicas cúspides y las únicas singularidades de Γ_n.

Trabajo en colaboración con Gil Bor (CIMAT) y Sergei Tabachnikov (Penn State).

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